Патрик Доргу родился 26 октября 2004 года в Копенгагене. Воспитанник футбольной академии датского клуба «Норшелланн». В сезоне 2022/23 выступал за молодёжную команду итальянского клуба «Лечче» на правах аренды, а летом 2023 года перешёл в «Лечче» на постоянной основе, хотя к нему проявляли интерес английские клубы «Ливерпуль», «Манчестер Сити» и испанская «Барселона». 13 августа 2023 года дебютировал за «Лечче» в матче Кубка Италии против «Комо», а неделю спустя вышел в стартовом составе в матче итальянской Серии A против против «Лацио». 

Всего Патрик сыграл 57 матчей за “Лечче”, забив 5 голов. Универсальный защитник проводил отличный сезон в Италии, заняв второе место по количеству выигранных единоборств на газоне в Серии А и четвертое место по количеству успешных обводок среди всех защитников лиги. Доргу также забил первым же касанием в своем дебютном матче за сборную Дании. 2 февраля 2025 года перешёл в английский клуб «Манчестер Юнайтед», подписав контракт до июня 2030 года с опцией продления соглашения на еще один год.. Сумма трансфера составила 30 млн евро (25,1 млн фунтов).