Джошуа Зёркзе родился 22 мая 2001 года. Уроженец Схидама, Джошуа выступал за молодёжные футбольные команды «Влардинген», «Спартан'20» и «Фейеноорд». В 2017 году стал игроком футбольной академии мюнхенской «Баварии»1 марта 2019 года Зиркзе дебютировал в стартовом составе «Баварии II» (до этого он провёл за команду два матча, выходя на замену), сделав в этой игре хет-трик в ворота «Шальдинг-Хайнинг».

11 декабря 2019 года дебютировал в основном составе «Баварии» в матче группового этапа Лиги чемпионов УЕФА против «Тоттенхэм Хотспур». Через неделю дебютировал в немецкой Бундеслиге в матче против «Фрайбурга», выйдя на замену Филипе Коутиньо на 90-й минуте, а две минуты спустя забил победный гол.Через три дня в матче Бундеслиги против «Вольфсбурга» вновь вышел на замену и вновь отличился забитым мячом через две минуты после своего выхода на поле. Всего провел в Бундеслиге 12 матчей, забил 4 мяча.

30 августа 2022 года перешел из "Баварии" в итальянскую "Болонью". В серии А провел за команду 57 матчей, забил 13 мячей.

14 июля 2024 года перешёл в «Манчестер Юнайтед» за 42,5 млн евро, подписав с английским клубом пятилетний контракт.