Алтай Байындыр  родился в турецком Османгази 14 апреля 1998 года. Профессиональную карьеру начинал в клубе "Анкарагюджю". В его составе Алтай Байындыр  дебютировал в чемпионате Турции 30 ноября 2018 года, выйдя в стартовом составе « в игре против «Ризеспора».

8 июля 2019 года вратарь подписал 4-летний контракт со стамбульским «Фенербахче». 19 августа 2019 года он дебютировал за свой новый клуб в матче против "Газиантепа". Последующие выступления игрока дали повод тренерскому штабу команды утвердить его в роли первого номера. 25-летний игрок сборной Турции провел за карьеру 166 матчей, в 53-х из которых не пропустил голов. В прошлом сезоне он был ключевым игроком «Фенербахче», когда его клуб выиграл Кубок Турции и заняли второе место в  турецкой Суперлиге. 

1 сентября  2023 года Алтай Байындыр стал игроком "Манчестер Юнайтед", подписав 4-х летний контракт  с "красными дьяволами" с возможностью продления еще на год, став первым турецким игроком в составе клуба.