Расмус начинал заниматься футболом в команде «Б-93». После годичного пребывания в академиях «Брондбю» и «Холбека» перешёл в академию «Копенгагена». Является воспитанником клуба. С сезона 2020/2021 — игрок первой команды. В датском чемпионате дебютировал 25 октября 2020 года поединком против «Орхуса», в котором вышел на замену на 90-ой минуте вместо Йонаса Винда. 18 декабря 2020 года подписал с «Копенгагеном» новый контракт до декабря 2023 года. Всего в дебютном сезоне принял участие в четырёх встречах.

27 августа 2022 года перешёл в итальянский клуб «Аталанта» за 17 млн евро. В сезоне 2022/23 забил 10 голов в 32 матчах.

5 августа 2023 года стал игроком английского клуба «Манчестер Юнайтед» и был презентован на стадионе «Олд Траффорд» перед товарищеским матчем против клуба «Ланс». Сумма трансфера составила 64 млн фунтов, ещё 8 млн фунтов предусмотрены в виде бонусов.